そこそこまあまあ精密に読む『ベーシック圏論 普遍性からの速習コース』
これを雑に読めるのかよ...！cFQ2f7LRuLYP.icon
遥かなる実力の差を感じる
この認識わかる気がするSummer498.icon
これあるよなーはるひ.icon
雑に読んでないです。タイトル詐欺でしたtakker.icon
タイトル変えるか
変えた
一字一句噛みしめながら読んでます
定義を一つ一つ確認し、数式を組み立てていく
簡単なのは脳内で完結するが、今回はだいぶ込み入ってるので読書メモを書きたくなった
へぇ〜cFQ2f7LRuLYP.icon
注：テキストから勝手に記号変えているところあります
定義は書き出しているので、第三者が読んでもそれほど混乱しない……はず
あっ数理論理学の記号の説明は省いてます
質問あれば解説する
今日は大丈夫ですtakker.icon
もう店じまい
明日からは別のレポートやるので明日これ編集してたら追い出してください
笑うSummer498.iconnishio.icon
2024-01-19の置き水差し
序論
例 0.5 離散位相の普遍性
$ \forall Sに離散位相$ \forall\cal O^*を導入し位相空間$ D:=(S,\cal O^*)を作る このとき、任意の位相空間$ Xと$ \forall f:S\to Xについて、$ f=\bar f\circ iとなる連続写像$ \bar f:D\to Xが一意に存在する
$ i:S\ni s\mapsto s\in Dとする
記述が混乱しているので一旦飛ばすtakker.icon
テキストでは、台集合と空間を同じ記号で表していて、どちらの意味で使っているのか読み取れない
密着位相だと成り立たないらしい
どんな構成方法であれ、それで一度普遍性を証明さえできれば、構成方法は忘れてしまって構わない
必要なことはすべて普遍性が教えてくれる
自然数の構成を忘れても計算できるのと同じ理屈takker.icon どう切り出そうtakker.icon
章ごとに切り出せばいいかと思ったけど、例単位で量が膨大になってしまった
例ごとに切り出すか
タイトルはどうしよう
✅「線型写像の普遍性」とかでいいか
いくつか切り出した
コンテンツ増えてたnishio.icon
第1章 圏・函手・自然変換
2024-02-10 まだ第1章にすら到達できていないの笑うtakker.icon
早く第1章やりたいよ～我慢できないよ～！
1.1 圏
注意1.1.2
(a) 記法は他にもある
$ A\in\mathscr A:\iff A\in{\rm ob}(\mathscr A)
対象の集まりと圏とを混同する記法
紛らわしいので採用しないtakker.icon
この2つは日常的に使うので採用takker.icon
$ f:A\to B:\iff f\in\mathscr A(A,B)
$ A\xrightarrow{f}B:\iff f\in\mathscr A(A,B)
$ {\rm Hom}(A,B):={\rm Hom}_\mathscr A(A,B):=\mathscr A(A,B)
これもよく使われる
記法「$ \rm Hom」は、最も初期の圏論の例に由来し、準同型を意味している。 $ \bullet\circ\bulletと$ {\rm id}_\bulletも、他の圏のものを区別するために、$ _\mathscr Aを添えたほうがいいかも知れないtakker.icon
(b) 略
(c) 略
(d) 曖昧につかった「集まり」は、大雑把にクラスだと思っていていい (e) 射$ f:A\to Bの$ Aを$ fの定義域、$ Bを$ fの値域と呼ぶ 論者の定義によっては厳密にイコールにならないこともあるが、それぞれほぼ同じ概念だと思っていいtakker.icon
理由は知らないが、圏の固有名には太字ローマン体を使うtakker.icon
なら任意の圏も$ \mathscr Aではなく$ \bf Aと書いてしまえばいいのに
2024-02-25 途中から$ {\bf A}に切り替えた
$ {\rm ob}({\bf Set})：集合の集まり
$ f:A\to B：集合$ Aから$ Bへの写像の集まり この4要素(恒等射を圏の条件に加えるなら3要素)を指定して初めて圏を定義できるが、通常は対象と射を指定し他を略してしまう
「集合と写像の圏」というふうに
さらに射が自明っぽいときは、対象だけ指定することが多い
「集合(の)圏」のように
更に例を挙げる
$ {\rm ob}({\bf Grp})：群の集まり $ {\rm ob}({\bf Ring})：環の集まり 線型空間の圏$ \bf Vect_K\quad\text{.for }\forall K\in{\cal B} $ {\rm ob}({\bf Vect})：線型空間の集まり $ f:A\to B：線型空間$ Aから$ Bへの線型写像$ fの集まり 「体$ K上の線型空間と線型写像の圏」とも言える
$ {\rm ob}({\bf Top})：位相空間の集まり 定義1.1.4
$ \forall A,B\in{\rm ob}(\mathscr A)\forall f:A\to B.
$ fは同型射である$ :\iff\exist g:B\to A.g\circ f={\rm id}_A\land f\circ g={\rm id}_B このとき$ gを逆射と呼び、$ f^{-1}と表す $ f^{-1}は存在すれば一意である
同型射$ f:A\to Bが存在するとき、「$ Aと$ Bは同型である」という $ A\cong B:\iff同型射$ f:A\to Bが存在する
同型とは、対象同士で相互変換が可能だということtakker.icon
どういうこと？takker.icon
射は写像に「相当する」って時の「相当する」とは「似てるね」ってことであって「写像である」とは一言も言ってないし、ここまでの定義から明らかなように一般には写像ではないので、全単射である保証もないnishio.icon 薄い圏の射としてタプル(A, B)を考えたとき、これの逆射は(B, A)なんだけど、じゃあタプルは全単射なのかっていうと「いや写像じゃないし...」となる そういうことか～takker.icon
例1.1.5 $ \bf Setの同型射は全単射な写像である 例1.1.6
例1.1.7 $ \bf Topの同型射は同相写像である $ \bf Topの全単射な射は同型射にならない
例：$ [0,2\pi\lbrack\ni\theta\mapsto e^{i\theta}\in\{z\in\Complex||z|=1\} は全単射な連続写像だが、同相写像ではない
同相写像の定義がわからないから、これを説明できないtakker.icon
レベルアップしたときに再訪しよう
ここまでは集合と写像のアナロジーが使える圏を挙げた
ここから、集合とか写像とかで捉えられない圏を挙げる
以降、圏を3つ組で表現するtakker.icon
$ {\bf A}=({\rm ob}({\bf A}),{\bf A}(\bullet,\bullet),\bullet\circ\bullet)
例1.1.8
(a)
対象を1つだけもつ圏$ \bf 1
何らかの対象と、それと対応付けられる適当ななにかを選べばいい
対象を$ Iとすると
$ {\bf 1}=(\{I\},{\bf 1}(I,I),\circ:{\bf 1}(I,I)\times{\bf 1}(I,I)\to{\bf 1}(I,I))
となる
$ \forall A,B\in{\rm ob}(\mathscr A).\mathscr A(A,B)\neq\varnothing\implies A=B
(c) 群は、対象が一つで同型射しかもたないような圏と本質的に同じである 始める前に、まず群ってなんだよってとこからやりたいtakker.icon
19:38:17 書いた
群=monoid+逆元の存在であるから、任意の$ fに対して$ f\circ g=iとなる$ gが存在していればいい
よって、対象が1つで同型射のみから構成される圏は、群と同一視できる
p.17をよく読んだら、正確には「群の圏と対象が1つで同型射しか持たない圏とは圏同値である」と記述されるとあった おそらく以降の「本質的に同じ」も「圏同値」のことだと思われる 先の方を読んだところ、圏同値の定義には自然変換が必要っぽい
定義を深堀りするのはしばらくお預けかなあ
ここまでの感想takker.icon
圏って、群とかmonoidみたいに、ものとそれに対する演算の組で、ある条件をみたすもの、つまり数学的構造の一つと捉えられそうだ
圏に条件を加えたり対応関係を作ったりすることで、群とかmonoidとか他の数学的構造を表せるようになる
つまり、群やmonoidを圏の特殊ケースとして解釈し直せる
これと同等の主張がp.17にある
しかし、だとするとますます集合論じゃだめなの？という疑問が強くなる
一応、まえがきを見ると集合論では表現できないことがあるらしいが……
この謎が解けたら圏論完全理解できそう
まあ対象の集まりが集合ではないことがあるから「対象の集合」と言えなくて「対象の類」って言ってるわけだしnishio.icon 任意の$ {\bf A}に対し、射の向きを反転させた反対圏$ {\bf A}^{\rm op}が定義される
$ {\rm ob}({\bf A}^{\rm op})={\rm ob}({\bf A})
$ {\bf A}^{\rm op}(A,B)={\bf A}(B,A)
$ \bf Aで成り立つありとあらゆるものは、$ {\bf A}^{\rm op}でも成り立つ
本当か？takker.icon
演習問題
略takker.icon
注意1.2.2
(a) 函手の定義は、$ \bf Aの射の列からちょうど1個の$ \bf Bの射を得られるように作られている
これはよくわからないnishio.icon
ここメモを端折ってますtakker.icon
そのうちちゃんと書く
❌次に進む前に、函手の公理2.が不要かどうかを調べる
nishio.iconさんが一晩で示してくれました
そんな……成り立たなかったんて……takker.icon
これは自明でないらしい
？？？takker.icon
おそらく$ Fは函手のことだろう
自由軍とはなんぞや
テキスト p.23
$ Sを部分集合として含む群であって、2.1節で明確にされる意味で群の公理から必然的に従う以外には何も性質をもたない群である。 $ Fを使うと、$ Sから$ S\subseteq\underline Gを満たす単純な群を構成できる、ということだろうか？
ここから、読むだけでは何言っているかよくわからなくなってきたので、アクティブ読書に切り替える
引用はほんの少しだし、まあ大丈夫だろう
テキストp.23
もう少し正確に述べてみよう．$ F(S)の元は，$ x^{-4}yx^2zy^{-3}(ここで$ x,y,z\in S)といった形式的な表示あるいは語(word)である．二つのこういった語は片方から他方が通常の簡約規則で得られるとき等しいとみなされる．たとえば$ x^3xy,x^4y,x^2y^{-1}x^2yはすべて$ F(S)の同じ元を表している．二つの語の乗法は，ただ単に一方をもう片方に続けて書く（連結する）だけである．たとえば，$ x^{-4}yx掛ける$ xzy^{-3}は$ x^{-4}yx^2zy^{-3}である．
この構成法は，各集合$ Sについて群$ F(S)を割り当てる．さらに，$ Fは関手である．つまり集合間の写像$ f:S\to S'は群準同型写像$ F(f):F(S)\to F(S')を誘導する．たとえば，$ f(w)=f(x)=f(y)=uと$ f(z)=vで定義される集合間の写像
$ f:\{w,x,y,z\}\to\{u,v\}
を考える．これは群準同型写像
$ F(f):F(\{w,x,y,z\})\to F(\{u,v\})
を誘導し，そこでは$ x^{-4}yx^2zy^{-3}\in F(\{w,x,y,z\})は
$ u^{-4}uu^2vu^{-3}=u^{-1}vu^{-3}\in F(\{u,v\})
へと写される．
これいきなり生成元が複数の自由群の話してると思うけどもっとシンプルなのは「整数の加法群」nishio.icon $ S = \{1\}を部分集合として含む群はなーんだ
なかった
明日やろ
やっぱ今日やろ
$ \{1\}\subseteq\underline Gとして$ (\underline G,+)が加法群になるとする
$ +が2項演算だから$ 2,3,4,\cdots\in\underline G
単位元の存在より$ 0\in\underline G
逆元の存在より$ -1,-2,-3,-4,\cdots\in\underline G
なるほど、つまり「任意の加法群$ Gについて$ 1\in\underline G\implies\Z\subseteq\underline G」が成立するのか
あー、生成元って例えば今のなら$ 1のことか
含まれている元を指定すると、それによってある程度台集合の中身が決まる
この台集合は$ \Z\subseteq\underline Gという条件なため無数に存在するが、下限みたいなことを考えると、$ \Zただ一つに定まる
この$ (\Z,+)を「$ \{1\}から生成された自由(加法)群」と呼ぶわけだな～
納得takker.icon*2
教科書届いたから読んでみたが情報が増えなかった！nishio.icon
てっきり何か解説を読み飛ばしてるのだと思って突っ込んだのだが、教科書もこのペースで書かれていた
それtakker.icon
とりあえず、1と加算での自由群の次は「いくつも元がある集合」と「並べて書くこと」による自由群の話
簡約の話、いるかな…
一晩寝て回答: いる
群である条件から逆元をくっつけた時に単位元になることが求められる
ので、単なる結合ではなく簡約までセットじゃないと演算として適切でない
逆に、この演算なら任意の集合から群が作れる
いくつも元がある集合
いくつも元がある集合takker.icon
2元集合takker.icon
$ S=\{1,i\}とする
$ +を複素数における加算だとすると、$ Sから生成された自由群の台集合はガウス整数になる 僕は思いつかなかったけどこれはいい例nishio.icon
演算を加算以外にするtakker.icon
生成元：$ x,y
演算は文字連結$ .にしてみるか
$ x.y=xy
$ x.x=xx
$ x,yから生成される群を$ (\underline G,.)とする
二項演算だから$ xy,yx,xx,yy,xxx,xxy,xyx,xyy,\cdots\in\underline G
単位元$ x.\empty=\empty.x=x,\empty\in G
逆元$ x.x^{-1}=\empty,x^{-1}\in G
これがテキストだと$ xxを$ x^2と書くのとセットで簡約と呼ばれてるnishio.icon
このタイプは隣接した同じ文字をまとめて書き直したことと同じ操作なので、やってもやらなくても結果に支障はなさそうですねtakker.icon
加えて$ xxy,xyxも簡約で同じ元になるとされてますね。でもこれ必要かなあtakker.icon
$ xxyx^{-1}と$ xyxx^{-1}(=xy)を同じ元とみなしていいものか
例えばn次元正則行列と行列積による群は$ xyx^{-1}\neq yとなる場合がある
群を構成するのに簡約が必ずしも必要というわけではなさそう
うーん、何のために簡約が必要なのかわかってないかもtakker.icon
ここからは次回
先にTODO消化するかも
1.3 自然変換
こ、攻防が全く見えないcFQ2f7LRuLYP.icon
全然わからんくてわらったsume.icon
🍩sume.icon
何気に結構長く継続しててえらい！.iconSummer498.iconcFQ2f7LRuLYP.icon
たのしいtakker.icon
2.1 定義と例
2.2 単位と余単位から見た随伴
2.3 始対象からみた随伴
第3章 休憩：集合論について
3.1 集合にまつわる諸構成
3.2 小さな圏と大きな圏
3.3 歴史についての注意
4.1 定義と例
4.3 米田の補題の帰結
第5章 極限
5.1 極限：定義と例
5.3 函手と極限の相互作用
第6章 随伴・表現可能函手・極限
6.1 随伴と表現可能函手からみた極限
6.2 前層の極限、余極限
6.3 随伴函手と極限の相互作用